Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Все началось в 1904 году, когда малоизвестный немецкий математик фон Кох, изучая работы Георга Кантора и Карла Вейерштрасса, натолкнулся на описания некоторых “странных” кривых с необычным “поведением”.Странность заключалась в том, что любой, даже ничтожно малый отрезок кривой в точности повторяет по свойствам саму кривую. Взяв лист бумаги, Кох принялся выстраивать “собственную” линию, нисколько не догадываясь, что отныне она навсегда войдет в математические анналы под именем “снежинки” Коха. “Снежинка” потрясла математический мир. Современники обозвали ее “чудовищем”, монстром, математической патологией, не имеющей никакого отношения к реальному миру и никому не нужной.
Интерактив отлично показывает, как по шагам строится кривая Коха. Нулевая итерация — просто начальный треугольник состоящий из трёх отрезков. Потом каждый из них делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается первая итерация — треуголник из трёх ломаных линий, которые состоят из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается третий шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется снежинкой Коха. "Снежинка" состоит из трёх равных кривых Коха.
Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».
Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3)n–1. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.
Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе.